I Noreg har me ein stolt tradisjon. Me er sist med alt. Magne Myrmo vart siste verdsmeisteren på treski i Falun i 1974, og eg var den siste i landet som fekk opplæring i bruk av reknestav året etter. Så kom kalkulatoren Texas Instruments TI-30 og tok drepen på om-lag-kjeppen over natta.

Var det eg lærte fullstendig bortkasta? Nei, eg fekk innføring i logaritmar og overslagsrekning.

Kva er ein logaritme? Det er ein matematisk funksjon, y=log(x), som et ein ukjend x og gjev ein y på ein slik måte at logaritmefunksjonen er den omvende funksjonen til eksponentialfunksjonen 10^x. Dersom du tek logaritmen av eksponentialfunksjonen, får du y=log(10^x)=x.

I figur 1 ser du dei to funksjonane teikna inn. Me ser at eksponentialfunksjonen gror over alle haugar, men ved å taka logaritmen av y-aksen, som i figur 2, vert det heile mykje meir handterleg. Logaritmen er ein demokratisk funksjon som gjev like mykje merksemd til små som store tal. Dersom ein har tal med stor spennvidde, passar det å taka logaritmen av dei når dei skal presenterast.

Figur 1. Logaritme og eksponentialfunksjon. Dei er omvende funksjonar.

Talet 10 vert kalla grunntalet til logaritmen. Andre grunntal kan veljast, slik at det passar med det som skal reknast ut. Matematikarar likar grunntalet til Euler, e=2,718 …, og kallar logaritmen deira for den naturleg logaritmen, y=ln(x) med e^x som tilhøyrande eksponentialfunksjon. Dei som syslar med datamaskinar, synest den såkalla 2-logaritmen med grunntalet 2 er gild, då han passar godt med binære tal.

Det som gjer logaritmar så kjekke når ein reknar, er at dei forvandlar vanskeleg multiplikasjon og divisjon til enkel addering og subtraksjon. Log(a*b)=log(a)+log(b) og log(a/b)=log(a)-log(b). Det er berre ein liten hake. Korleis finn ein logaritmen til eit tal? Vel, der har matematikarar kome oss til hjelp.

John Napier fann i 1614 på det heile då han gav ut ein logaritmetabell der ein kunne slå opp logaritmeverdien til dei einskilde tala. Han var så nøgd med tabellen at han kalla han «Skildringa av dei fantastiske logaritmane» (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). Henry Briggs vitja Napier og laga 10-logaritmen som me ingeniørar brukar. Til slutt, rundt 1730, kom geniet Leonard Euler på bana og gav oss dei naturlege logaritmane.

Figur 2. Eksponentialfunksjon presentert i ein logaritmisk graf.

Eg har ein utsliten logaritmetabell i hylla. Simon Newcomb som levde på slutten av 1800-talet, bladde nok meir i sin logaritmetabell enn eg i min. Han såg at sidene som tok til med 1, var mykje meir slitne enn dei som starta med 9.

Det seier mykje om dei tala me balar med, noko Frank Benford gjenoppdaga 50 år seinare. Han studerte ei rad datasett og fann at dei fleste hadde størst frekvens av tal som starta på 1 og minst frekvens på 9. Benfords lov var fødd, og ho har seinare vorte brukt til mykje samfunnsnyttig.

Reknestaven er laga slik at skalaene er logaritmiske. Når ein skal multiplisere, skyv ein éin skala i forhold til den andre og les av resultatet. Sidan skalaene er graverte inn i ein stav, vert utrekningane omtrentlege, og det kan vera ein fordel, av di ein lærer seg overslagsrekning.

Den viktigaste naturlova er at endringar er avhengige av kor mykje ein har. Denne lova kan skildrast med eksponentialfunksjonen, og då er det greitt med logaritmisk skala. Var det noko me lærte av pandemien, så var det logaritmar. Grunntalet var r, og vart det større enn 1, så var helvete laust. Heile folket fekk glede av å studera grafar med logaritmisk skala på y-aksen då det var stor skilnad mellom tala.

Virus, rentes rente, jordskjelv, toneskalaen, lydstyrke og tap i kablar er alle fenomen som treng ein logaritmisk skala.

Richter fann opp ein logaritmisk skala for jordskjelv i frustrasjon etter samtalar med journalistar med talfobi. Desibel, dB blant vener, skildrar forholdet mellom to storleikar av same dimensjon. Desibel vart først teke i bruk i Bell Telephone Company i 1924, og kva var då meir naturleg enn å gi eininga namnet til sjefen?

Nivåskilnaden mellom to effektar, P1 og P2, er gitt ved L=10*log(P1/P2). Er effekten P1 helvta av P2, er nivåskilnaden -3.0 dB. Halvering og fordobling gjev altså minus eller pluss 3 dB. Bell brukte dB-skalaen til å måla tap i kablar, men han er også grei å bruka til å angje lydtrykk.

Øyra våre er laga slik at det må ein dobling av lydstyrke til før me høyrer forskjell, og dimed er desibel kjekt å bruka. Du har sikkert høyrt utsegner som at fly støyar med 130 dB og oppvaskemaskina med 44 dB. Problemet er berre at dB berre seier noko om nivåskilnader. Skal utsegna gjeva meining, må det relaterast til noko.

Det vanlege er å oppgje i forhold til det lågaste lydtrykket me kan høyra, som er 20 mikropascal. Formelen ein nyttar, er L=20*log(p/p referanse) SPL (Sound Pressure Level). P står her for trykk, og me multipliserer med 20, då det er trykket kvadrert som gjev effekten, og SPL fortel oss at referansen er 20 mikropascal. Sidan øyret reagerer ulikt på ulike frekvensar, brukar ein ofte såkalla dBA-målingar, der dette er teke omsyn til.

Eg har levd eit langt og godt liv med desibel. Eg hugsar då eg som nyutdanna skulle laga mikrobylgjeforsterkarar, og kravet var at forsterkninga ikkje skulle variera meir enn 1 dB over frekvensområdet. Kvar gong den tekniske sjefen kom forbi, såg han med triste auga på resultata mine, medan han lyste opp då han fekk sjå kurvane til sidemannen.

Til slutt spurde eg korleis kollegaen fekk kurvane sine så flate. «Eg berre skrur på skalahjulet slik at det vert 10 dB per rute. Då vert alt flatt.»

Per Thorvaldsen

per.eilif.thorvaldsen@hvl.no