Eg er bjørnen Colargol, som kan syngja i dur og moll. Nei, rett nok har eg gått i hi her på sofaen, men musisering har aldri vore mi sterke side. Heldigvis er utsikta god.

Dei tekkjelege barna mine speler Beethoven firhendig til fars store undring og glede. Det er godt at ikkje alt går i arv, men dette må vel nærast verta kategorisert som mutasjon. Er det verkeleg gena mine? Kva er det dei intuitivt forstår som eg ikkje fattar?

Alt er tal

Musikk er matematikk, og kanskje den einaste forma for brøkrekning som kan vekkja andre kjensler enn berre frustrasjon. Musikk har gledd mennesket i uminnelege tider og kanskje før det òg. Alt dronning Shubad frå Ur lytta til ljuvlege harpetonar 2700 f.Kr. Ja, og når me først er inne på Jesus, hugsar me vel alle forteljinga om forfedrane hans som song og dansa rundt gullkalven – ein sjanger som aldri heilt har gått av moten.

Musikkteori, derimot, var det grekarane som var fyrst ute med. Pytagoras (525 f.Kr.), filosofen med x2+y2=z2, fann ut at dersom lengda av to eller fleire strenger oppfører seg som brøkar av små heile tal, lagar dei lyd som gjev fryd for øyra.

Dersom ein streng er dobbelt så lang som ein annan, vil frekvensen til lydbylgja frå den kortaste strengen vera den dobbelte av den frå den lengste strengen, og desse tonane blandar seg vakkert i våre øyre. Harmoniar skapte av tre tonar, ein treklang, lyder godt (i alle fall for oss i den vestlege kulturen) dersom frekvensane oppfører seg som brøkar av 4, 5 og 6.

Oktav

Med denne kunnskapen er det berre å setja i gang med pianofabrikk. Tonane me har til rådvelde, er 4, 5, 6 og 8. Men det er jo 88 tangentar. Her må det produserast fleire. La oss ta 8, som ikkje alt er med i ein treklang, og skapa ein ny. 5 1/3, 6 2/3 og 8 gjer susen, sidan forholdet mellom dei er som 4, 5 og 6. Me har no seks tal: 4, 5, 5 1/3, 6, 6 2/3 og 8, samansette av to samanvovne treklangar som er balsam for sjela. Her er berre eitt misforhold. Fire av tonane er hopa saman i midten. Svært uheldig, men ved å laga ein ny treklang 4 1/2, 6 og 7 1/2 fyller me dei utrivelege hola.

Me har no den vanlege musikalske skalaen vår, samansett av åtte tonar – ein oktav: 4, 4 1/2, 5, 5 1/3, 6, 6 2/3, 7 1/2 og 8, og frekvensen på siste tone er den dobbelte av den fyrste. Den skalaen me har leikt oss fram til, vert kalla for rettstemt, og er litt annleis enn den Pytagoras skildra. Pytagoras var meir driven i brøkar enn vi og brukte 4, 4 1/2, 81/16, 5 1/3, 6 3/4, 7 19/32, og 8. Ein ser at tredje, sjette og sjuande vert litt annleis enn vår skala. No har den norske amatørmatematikaren Børre Nyhoff komme fram til ein geometrisk metode for å konstruera båe skalaene. 

Børre Nyhoffs metode for å finna tonar i den pytagoreiske skalaen brukar ein rettvinkla trekant. Korleis han går fram, kan du lesa om i artikkelen han gav ut i 2023.

Kva frekvensar kan eg så lytta til? I beste fall frekvensar ein stad mellom 50 og 15.000 Hz. Her må det gjennomførast ei flytting frå domenet 4 til 8 og inn i det høyrlege området. Musikarar tek utgangspunkt i den einstrokne oktaven (han rundt G-nøkkelen) og med A = 440 Hz. Så lat oss multiplisera den opphavlege skalaen med 66 og få fylgjande skala: 264, 297, 330, 352, 396, 440, 495 og 528 Hz.

Musikk er som sagt matematikk, men ikkje alle musikarar forstår brøkrekning. Edvard Grieg, til dømes, var heilt håplaus i algebra, men det må også leggjast til at matematikaren Nils Henrik Abel var totalt tonedøv. I staden for frekvensar bruker musikarar regler som do-re-mi-fa-so-la-ti-do eller bokstavane C-D-E-F-G-A-H-C. Fire oktavar vert så enkelt laga ved å dobla eller halvera frekvensar. Verre er det ikkje. 

Ibenholt og elfenbein

Korleis går det så med brøkrekninga? Lat oss taka ein titt.

D/C=297/264=1,125

E/D=330/297=1,111

F/E=352/330= 1,067

G/F=396/352= 1,125

A/G=440/396=1,111

H/A=495/440=1,125

C/H=528/495=1,067

Dei sju intervalla fell inn i tre grupper av brøkar der to er ganske like, medan den tredje er cirka halvparten av dei to andre. For å auka den musikalske fleksibiliteten hadde det vore kjekt å fylla inn med nokre nye tonar der spranga i brøkane er størst, og det ville gitt ei jamn fordeling av tonar.

C-X-D-X-E-F-X-G-X-A-X-H-C

Ta ein titt på pianoet. X-ane er jo dei svarte tangentane. Ser ein på tangentane inst, er det altså eit halvt tonetrinn mellom alle tangentane anten dei er svarte eller kvite. No er det lett å finna C, rett til venstre for gruppa med to svarte tangentar. Start med C og spel skalaen. Vakkert. Vil du briljera, så spel treklangane C-E-G, G-H-D og F-A-C. Herleg harmonisk. Ein treklang som er gjeven av forholdet mellom 4, 5 og 6, er altså samansett av tonar som er høvesvis to tonetrinn og halvtanna tonetrinn frå kvarandre. For sjølve skalaen C-D-E-F-G-A-H-C er mønsteret av intervall: heilt, heilt, halvt, heilt, heilt, heilt og halvt.

I musikk vert det brukt ein litt annan frekvensskala enn den me er vande med frå fysikken. Han er ikkje lineær, sidan frekvensavstanden mellom to kvite tangentar ikkje alltid er den same. Dersom det er ein svart tangent mellom, er det eit heilt tonetrinn i skilnad, men er det ingen svart tangent, er skilnaden eit halvt tonetrinn.

Nei, no får det vera nok teori. Eg tek ein tur på loftet og finn fram det elektriske pianoet eg kjøpte i elektronikkstroket Akihabara i Tokyo for meir enn 30 år sidan. Mi beste investering. Ho gjorde barna interessert i musikk. Eg prøver å spela nokre strofer frå «The Entertainer» som har brent seg fast i hjerneborken. Eg går fort lei og skrur på den gamle Tandbergen som no er utstyrt med Spotify. Eg lèt Leif Ove Andsnes overta. Eg er nok ein betre lyttar enn utøvar.

Per Thorvaldsen

pth@hvl.no

Kjelder: Isaac Asimov, Science, Numbers, and I – Matter of Scale, Doubleday 1968, ISBN 0441754570

Børre Nyhoff, Alv I. Aarskog, og Sverre Holm, Geometric Construction of Pythagorean and Just Musical Scales and Commas, The Mathematical Intelligencer, mars 2023